我讀初二的時候，其中一本教材就是薄薄的《常用對數表》。當時很好奇，這個常用對數表是怎么算出來的。昨天看到李永樂對比3的361次方和10的81次方大小，又想起來這個初中時候的疑惑。網上搜到這個文章，覺得很有收獲，轉帖給大家。雖然不一定是當時人的算法，但是也可以開拓我們的思維。

回到十七世紀，讓我來編算一本常用對數表

自十八、九歲學習了對數后，就覺得造對數表真不簡單。據說十七世紀那時，說如果誰發現了對數表上有一個數字錯，就獎一兩黃金。

據百科百度：納皮爾(1550～1617年),蘇格蘭數學家,對數的創始人。他的最大貢獻是發明了對數。納皮爾的杰作《奇妙的對數定律說明書》于1614年6月在愛丁堡出版。納皮爾的朋友，英國人布里格斯，將納皮爾創立的對數改為常用對數,它才得到廣泛使用。并在1624年出版了《對數算術》，公布了以10為底包含1—20000及90000—100000的14位常用對數表。

1671年，著名的德國數學家萊布尼茲（G.W.Leibnitz）制成了第一臺能夠進行加、減、乘、除四則運算的機械式計算機。

可見，布里格斯編算常用對數表時，機械式計算機還未發明，看來只能是手算了。

我那時不知道十七世紀是怎樣編算對數表的。但我還是想自己親手來編一份，那怕為數很少也可以，只想弄明白，對數表是怎樣編算的。這一心愿幾十年來一直沒有了結。

想起二十世紀五六十年代，對數表不能離手，少了它就無法工作，真不勝感慨。當70年代用上了飛魚牌手搖計算機后，就告別了六位對數表。當80年代用上了電子計算器后，又告別了八位函數表和手搖計算機。在電腦已普及的今天，我仍有用手算方法來造對數表的想法，這似乎有點可笑，但“怎樣造原始的對數表”的問題，仍牽引著我的心，一直想了此一事。

想不到年老了，竟靈光一閃，得到了一個造表方法，并且可以分配到許多人，各自獨立計算不同的數值范圍，最后匯集于一起，成為一本對數表，這樣就可以較快完成，不必化幾年、乃至幾十年時間了。

所謂常用對數，就是以10為底時，有方程10^D=Z。如果知道一個數Z (叫真數)，則10的指數就是D， D就叫十進對數，也叫常用對數。 給出Z，求D。 并以D = Lg Z表示之。例如10^D=2，給出2，求D。 并以D = Lg2表示之。查對數表可得D = Lg2 =0.30103，即10^0.30103 = 2 。亦即10的0.30103次方等于2。

10的整數次乘方可以算，可是0.30103次方怎么算呢？真是無法理解。但如果說，因為0.30103=30103/100000，那末先算10的30103的次方，再開100000次方，倒是有道理的，但2的對數是0.30103，決不可能是這樣算的，所以仍很玄。那么2的對數是0.30103，到底是怎樣算出來的呢？

這么一想就有一個啟發，就是10的零點幾次方，可以這樣算：先乘方、再開方，而主要是開方。例如10的開平方，就是10的0.5次方。10的開3方，就是10的0.33333次方等等。受此啟發，經反復試算，得到編算常用對數表的步驟和方法：

＄1 先求最基礎的對數

1 、我想，世界上第一個常用對數，可能就是3.16227766的對數0.5。因為 3.16227766 = √10

= 10^（1/2）= 10^0.5 ，而0.5就是它的對數。10的開方，用筆算可以一次開出，也可以用逐步試算趨近。如先用3.16*3.16=9.9856，不夠，再用3.163*3.163=10.004569，超過了一點，再用

3.16228*3.16228 =10.0000147984…最后定為3.16227766。也就是說3.16227766的對數為0.500000。

2、 第二個，可能就是2.15443469的對數為0.333333了。因為2.15443469 = 3√10 =10^（1/3）

= 10^0.33333 ，而0.3333333就是它的對數。10的開3方比較麻煩，可以逐步試算趨近。如先用2.15*2.15*2.15 = 9.9384，不夠，再用2.1544*2.1544*2.1544 = 9.99952，還不夠，再試，最后定為2.15443469。也就是說2.15443469的對數為0.333333。

3 3.16227766的對數為0.500000。2.15443469的對數為0.333333…這樣的對數，我稱它們為最基礎的對數。最基礎的對數需要多少個呢？這里僅算出8個，我想也許夠了。 即只要計算：

10的1/2次方，亦即10的開2次方。注意2是素數。

10的1/3次方，亦即10的開3次方。注意3是素數。

10的1/5次方，亦即10的開5次方。注意5是素數。

10的1/7次方，亦即10的開7次方。注意7是素數。

10的1/11次方，亦即10的開11次方。注意11是素數。

10的1/13次方，亦即10的開13次方。注意13是素數。

10的1/17次方，亦即10的開17次方。注意17是素數。

10的1/19次方，亦即10的開19次方。注意19是素數。

就可以得到相應的對數。用這些最基礎對數，再去拓展其他的對數。計算這些最基礎對數，只要用開方就可以了。開方雖然很煩，特別是開7次方以上時，要逐步、反覆連乘7次以上來校核改進，的確很煩，但畢竟是可以用手工算得出來的。我想，在十七世紀時，也只能這樣硬算了。

4 、 而10的開4次方， 10的開6次方， 10的開15次方…就不必了，因為它們可以根據上述最基礎的對數，就能方便算出的，不必白費力氣了。

由 10 的 開 D 次 方 所 得 的 《基 礎 對 數 表》

＄2 基 礎 對 數 表 擴 充

有了上面的最基礎的對數之后，就根據對數基本原理：真數相乘除，對數便加減的方法，可將最基礎的對數擴充。例如：

1 (2√10)*(5√10) = 3.162277660*1.584893192=5.01187

相應之對數為：0.500000 0.200000=0.70000

2 (2√10)/(5√10) = 3.162277660/1.584893192=1.99526

相應之對數為：0.500000-0.200000=0.30000

3 這樣，擴充后的對數，共96個，見下表：

基 礎 對 數 擴 充 表， 由最基礎的真數和對數，經真數乘除、對數加減而得。

當然，這個表很小，數量遠遠不夠。但可以作基礎，再通過多次交錯乘除，得到更多的對數。但要想通過更多次交錯乘除，得到全部對數，是不可能的，得另找出路。其實，只要設法先求出“素數的對數”，那就一勞永逸地解決問題了。這張《基礎對數擴充表》就為下一步求“素數的對數”作了準備。

＄3 求素數的對數（注：采用的二分法）

大家知道，合數是素數的乘積。所以，只要知道素數的對數，就可以用乘除、加減法，算出合數的對數。于是任何數的對數，都可以算出。那末，素數的對數怎樣求呢？

分兩步：

第一，選擇數據（選兩個基準點）。在《對數擴充表》內，選擇盡量靠近所求素數的兩個數。例如，要算2的對數，表中僅有真數1.99526與2.20220 其中1.99526離2很近，選中。而2.20220離2還遠，我們就不用它，另找。方法是：仍利用上面的對數擴充表，找到1.95393與1.03273，兩個數相乘，得：

1.95393*1.03273=2.01788，(離2很近了)，選中。其相應對數為：

0.29091 0.01399=0.30490 。

這樣，就取1.99526與2.01788兩個數去內插，求2的對數。1.99526與2.01788這兩個數，稱做逼近值。

第二，內插法（二分法計算）。

真數 對數

a= 1.99526 A=0.30000

b= 2.01788 B=0.30490 求 Z=2 的對數。

在很小區間內(所求值百分之一、二的誤差)，采用線性內插公式

Lg Z = A (B-A)/(b-a)*(Z-a)

計算得Lg 2 = 0.30103

這個方法只用到乘，除、加、減，所以可用手算。為減少工作量，最好多采用乘法去找逼近值、內插。

以下是 Lg 2、Lg 3、 Lg 5、Lg 7 、Lg41、Lg 43的計算過程：

數 據 準 備 中 的 真 數 和 對 數 ，來自 《基 礎 對 數 擴 充 表》

＄5 分工合作、同心協力編常用對數表

最基礎對數→對數擴充表→素數的對數→合數的對數，這樣的四個步驟，使許多人同時作業成為可能。組織分工如下：

1、先由少數人計算最基礎對數。要準，取位要多，如編八位對數表，最基礎對數至少要取十位以上。

2、再由少數人，分工計算對數擴充表。最基礎對數與對數擴充表便作為公用。

3、組織許多人，同時計算素數的對數。每人分擔一段，如1—50 、50—100 、 101—200 、 201—400…在各自范圍內，計算素數的對數。素數的對數也作為公用。

4、組織許多人，同時計算合數的對數。也是每人分擔一段，既互用成果，又互不干涉。

5、每人每天的成果，匯總公布，以便下一步工作時互相利用，提高工效。

結 語

假如把乘除比作一條洶涌的河，那末對數表就是一座平緩的橋。它使眾多的實用計算者，較輕松的到達彼岸，極大的提高工作效率。但時隔三百年至于今天，那些造橋的人，乃至造橋的方法，己淹沒在歷史的巨卷之中，對數表也進入了歷史博物館。

我們紀念逝去的人，還要發愿：要發揚先輩追求真理、為全人類效力的精神，為科學的理性發展而學習、而奮斗！