作者 | 大小吳
來(lái)源 | 大小吳的數(shù)學(xué)課堂
是每一個(gè)上過(guò)中學(xué)的人都熟知的事實(shí)，但是即便是非常簡(jiǎn)單的“負(fù)負(fù)得正”，你有想過(guò)這是為什么嗎？今天大小吳就和大家來(lái)探討一下這件事。
1 司湯達(dá)的疑問(wèn)
將財(cái)產(chǎn)記為正數(shù)，負(fù)債記為負(fù)數(shù)對(duì)于普通人來(lái)說(shuō)確實(shí)是一件易于理解的事，這種記錄方式始于7世紀(jì)的印度，它適用于加減法的運(yùn)算，比如，本來(lái)有10元，支出12元，對(duì)應(yīng)的算式是
這里的對(duì)應(yīng)的實(shí)際含義是“負(fù)債2元”。
然而，當(dāng)要對(duì)其進(jìn)行乘除法的時(shí)候，就會(huì)出現(xiàn)某些令人匪夷所思的問(wèn)題，在12世紀(jì)，印度天文學(xué)家巴斯卡拉這樣說(shuō)道：“財(cái)產(chǎn)和財(cái)產(chǎn)的乘積，債金和債金的乘積均為財(cái)產(chǎn)，財(cái)產(chǎn)和債金的乘積則是債金。”根據(jù)他的說(shuō)法，就有
這個(gè)公式是什么意思呢？恐怕無(wú)人能夠理解。18世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家歐拉在其著作《代數(shù)學(xué)入門(mén)》采用過(guò)同樣的說(shuō)明方法，這讓許多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人在初遇負(fù)數(shù)相乘問(wèn)題的時(shí)候感到一頭霧水。
《紅與黑》的作者，19世紀(jì)法國(guó)批判現(xiàn)實(shí)主義作家司湯達(dá)在其年少時(shí)酷愛(ài)數(shù)學(xué)，但他同樣也困惑于“負(fù)負(fù)得正”問(wèn)題，他在其自傳中這樣寫(xiě)道：
似乎是由于年少的單純，使我認(rèn)為在數(shù)學(xué)中是不可能有虛假的，然而當(dāng)了解了誰(shuí)也沒(méi)加證明的（負(fù)×負(fù)）=（正）時(shí)，該怎么辦才好呢（這是代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一）。當(dāng)考慮某人有負(fù)的借款時(shí)，為何1萬(wàn)法郎的借款乘以500法郎借款，就會(huì)變成500萬(wàn)法郎的財(cái)產(chǎn)了呢……
實(shí)際上，司湯達(dá)提出了每一個(gè)學(xué)習(xí)代數(shù)的人都必然會(huì)提出的問(wèn)題，即為什么“負(fù)負(fù)得正”？該如何直觀(guān)地理解這件事？
2 從實(shí)際的角度
問(wèn)題出在了對(duì)正負(fù)數(shù)的說(shuō)明上。仔細(xì)想想，對(duì)于什么是財(cái)產(chǎn)財(cái)產(chǎn)，債金債金，恐怕誰(shuí)也無(wú)法說(shuō)明，因?yàn)榻痤~再乘以金額是沒(méi)有實(shí)際意義的。
對(duì)此，《古今數(shù)學(xué)思想》的作者，美國(guó)數(shù)學(xué)史家和數(shù)學(xué)教育家M·克萊因通過(guò)“負(fù)債模型”巧妙地說(shuō)明了“負(fù)負(fù)得正”問(wèn)題：
一個(gè)人每天欠債5元，從給定日期開(kāi)始（比如今天）3天后欠債15元。如果將5元的負(fù)債記作，那么“每天欠債5元，欠債3天”可以用數(shù)學(xué)來(lái)表達(dá)：
同樣地，每天欠債5元，考慮這個(gè)人3天前的財(cái)產(chǎn)，那么就應(yīng)該比今天的財(cái)產(chǎn)多15元。如果我們用表示3天前，用表示每天欠債，那么3天前他的財(cái)產(chǎn)情況就可以表示為
受此啟發(fā)，我們也可以舉出“批閱試卷”的例子來(lái)進(jìn)行說(shuō)明：
如果有一次考試某同學(xué)錯(cuò)了一道題，扣5分，則將其記為，對(duì)應(yīng)的算式是：
這里的1表示的實(shí)際含義是1道錯(cuò)題。
換個(gè)角度想，假若是老師批錯(cuò)了，那么很顯然這位同學(xué)扣除的5分就會(huì)加回去了，其得分是。1表示老師批對(duì)，那么相對(duì)應(yīng)地，則表示老師批錯(cuò)，對(duì)應(yīng)的算式是：
上述兩個(gè)例子是自然的，也是合乎情理的，可以幫助我們理解“負(fù)負(fù)得正”。
3 從運(yùn)算邏輯的角度
從運(yùn)算邏輯的角度來(lái)說(shuō)，負(fù)負(fù)也必須要得正，因?yàn)橛欣頂?shù)的運(yùn)算必須遵循乘法分配律：
我們規(guī)定實(shí)際上就是為了讓負(fù)數(shù)的運(yùn)算依然能保持乘法分配律的結(jié)果，例如：
則
根據(jù)乘法分配律，則有
因?yàn)椋詫?duì)于，其結(jié)果只能為1.
4 從幾何的角度
給定，，則和均為正數(shù)。如圖，則乘積表示的實(shí)際含義是以和為兩邊的矩形（斜線(xiàn)陰影部分）的面積。
那么，這個(gè)矩形是如何變換得到的呢？實(shí)際上，它是由原來(lái)以，為兩邊的大矩形先取走標(biāo)以水平線(xiàn)陰影的矩形面積，再取走標(biāo)以豎直線(xiàn)陰影的矩形面積，但這樣取走了兩次標(biāo)以雙重線(xiàn)陰影的矩形面積，必須將其放回，因此：
在這里如果令，便得到
即得到了負(fù)數(shù)相乘的符號(hào)法則。
5 不能加以證明的“負(fù)負(fù)得正”
實(shí)際上，上述對(duì)“負(fù)負(fù)得正”的一些看似合理的說(shuō)明充其量只是某些“解釋”，而不能將其稱(chēng)之為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。特別是上面“從幾何角度來(lái)說(shuō)明負(fù)負(fù)得正”的例子，這樣的“論證”是虛假的，因?yàn)樗耆鲆暳?/p>
公式之所以成立取決于不等式，，而令則完全違背了這一點(diǎn)。
負(fù)數(shù)經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)一段時(shí)間才被人們所接受，很難相信直到17世紀(jì)其合法性還不能像正整數(shù)那樣被人們所普遍承認(rèn)，當(dāng)有必要使用它們時(shí)，人們是相當(dāng)猶疑和不安的，數(shù)學(xué)家有時(shí)將負(fù)數(shù)稱(chēng)為虛構(gòu)數(shù)、假數(shù)之類(lèi)。因?yàn)槿祟?lèi)的天性更傾向于依附“具體”的事物，比如可數(shù)的物體（正整數(shù)）。對(duì)負(fù)數(shù)的運(yùn)算毫無(wú)疑問(wèn)是抽象的，為此人們?cè)磸?fù)地企圖證明符號(hào)法則，但都失敗了。
對(duì)數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，經(jīng)過(guò)了很長(zhǎng)一段時(shí)間才認(rèn)識(shí)到“負(fù)負(fù)得正”以及負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù)所服從的其他定義是不能加以“證明”的。它們是我們創(chuàng)造出來(lái)的，為的是在保持算術(shù)基本規(guī)律的條件下使運(yùn)算能夠自如。能夠并且必須加以證明的僅僅是：在這些定義的基礎(chǔ)上，算術(shù)的交換律、結(jié)合律、分配律是保持不變的。
參考文獻(xiàn)：
[1]（日）遠(yuǎn)山啟.數(shù)學(xué)與生活[M].呂硯山等譯.人民郵電出版社，2014.
[2]（美）R·柯朗，H·羅賓. 什么是數(shù)學(xué)——對(duì)思想和方法的基本研究[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.
[3]（德）菲利克斯·克萊因.高觀(guān)點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)（第一卷）——算術(shù) 代數(shù) 分析[M].舒湘芹等譯.復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.
原創(chuàng)文章，作者：賴(lài)頌強(qiáng)講孩子沉迷網(wǎng)絡(luò)游戲怎么辦，如若轉(zhuǎn)載，請(qǐng)注明出處：http://www.guwendong.com/156804.html
